Question

在△ABC中，a，b，c為角A、B、C所對(duì)的邊，2sin2CcosC-sin3C=

3

（1-cosC）
（1）求角C的大��；
（2）若c=2，且sinC+sin（B-A）=2sin2A且A≠

π

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡：2sin2CcosC-sin3C=

3

（1-cosC），再由三角形的內(nèi)角范圍和特殊角的正弦值，可求角C的大�。�
（2）利用兩角和與差的正弦公式化簡：sinC+sin（B-A）=2sin2A，后根據(jù)條件和正弦定理求出三角形的邊關(guān)系，由余弦定理求出邊長，然后求△ABC的面積．

解答： 解：（1）由題知，2sin2CcosC-sin3C=

3

（1-cosC）
2sin2CcosC-（sin2CcosC+cos2CsinC）=

3

（1-cosC）
sin2CcosC-cos2CsinC=

3

(1-cosC)，
化簡得，sinC=

3

-

3

cosC
即sinC+

3

cosC=

3

，2sin(C+

π

3

)=

3

，
所以sin(C+

π

3

)=

3

2

，
因?yàn)镃是三角形的內(nèi)角，
所以C+

π

3

=

2π

3

，故C=

π

3

；
（2）由sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A得，
sinBcosA+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sin2A
sinBcosA=2sinAcosA
所以cosA=0或sinB=2sinA，
因?yàn)?span id="pic1hac" class="MathJye">A≠

π

2

，
所以當(dāng)sinB=2sinA時(shí)，由正弦定理得b=2a，
所以cosC=

a2+4a2-4

4a2

=

1

2

，得a2=

4

3

，
所以S△ABC=

1

2

•b•a•sinC=

3

2

a2=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦公式，正弦定理的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用，解三角形的知識(shí)，以及計(jì)算化簡能力．