Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x³-4x+4．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=x²-2x+m，對?x₁，x₂∈[0，3]，都有f（x₁）≥g（x₂），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f'（x）=x²-4=（x+2）（x-2），令f'（x）=0，解得x=-2，或x=2，由此列表討論，能求出函數(shù)f（x）的極值．
（Ⅱ）因為?x₁，x₂∈[0，3]，都有f（x₁）≥g（x₂），所以只需f（x）_min≥g（x）_max即可，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因為f(x)=

1

3

x3-4x+4，
所以f'（x）=x²-4=（x+2）（x-2），（1分）
令f'（x）=0，解得x=-2，或x=2，

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f'（x）	↗	28 3	↘	- 4 3	↗

（4分）
故當x=-2時，f（x）有極大值，極大值為

28

3

；（5分）
當x=2時，f（x）有極小值，極小值為-

4

3

．（6分）
（Ⅱ）因為?x₁，x₂∈[0，3]，都有f（x₁）≥g（x₂），
所以只需f（x）_min≥g（x）_max即可．（7分）
由（Ⅰ）知：函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最小值f（x）_min=f（2）=-

4

3

，（9分）
又g（x）=x²-2x+m=（x-1）²+m-1，
則函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值g（x） _max=g（3）=m+3，（11分）
由f（x）_min≥g（x）_max，即m+3≤-

4

3

，解得m≤-

13

3

，
故實數(shù)m的取值范圍是(-∞，-

13

3

]．（12分）

點評：本題考查函數(shù)的極值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．