(12分) 設(shè)有半徑為3的圓形村落，A、B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā)，B向北直行，A先向東直行，出村后不久，改變前進(jìn)方向，沿著與村落周界相切的直線前進(jìn)，后來(lái)恰與B相遇.設(shè)A、B兩人速度一定，其速度比為3：1，問兩人在何處相遇？

 

【答案】

解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，由題意

可設(shè)A、B兩人速度分別為3v千米/小時(shí) ，

v千米/小時(shí)，再設(shè)出發(fā)x0小時(shí)，在點(diǎn)P改變

方向，又經(jīng)過y0小時(shí)，在點(diǎn)Q處與B相遇.

則P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)為（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）.

由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，………………3分

（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,

即.

……①………………6分

將①代入……………8分

又已知PQ與圓O相切，直線PQ在y軸上的截距就是兩個(gè)相遇的位置.

設(shè)直線相切，

則有……………………11分

答：A、B相遇點(diǎn)在離村中心正北千米處………………12分

 

【解析】略

 

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古代印度婆羅門教寺廟內(nèi)的僧侶們?cè)?jīng)玩過一種被稱為“河內(nèi)寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有n（）個(gè)圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現(xiàn)要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何時(shí)候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現(xiàn)用an表示將n個(gè)圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回答下列問題：
(1)   寫出a1，a2，a3，并求出an；
(2)   記，求和（）；
（其中表示所有的積的和）
(3)   證明：．

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現(xiàn)用表示將n個(gè)圓盤全部從A柱上移到C上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回答下列問題：

   （1）寫出，并求出

   （2）記，求和；

       （其中表示所有的積的和）

   （3）證明：

 

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1．    (本小題滿分12分)

古代印度婆羅門教寺廟內(nèi)的僧侶們?cè)?jīng)玩過一種被稱為“河內(nèi)寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有n（）個(gè)圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現(xiàn)要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何時(shí)候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現(xiàn)用an表示將n個(gè)圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回答下列問題：

(1)    寫出a1，a2，a3，并求出an；

(2)    記，求和（）；

（其中表示所有的積的和）

(3)    證明：．

 

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（2）記，求和；
（其中表示所有的積的和）
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