Question

某外商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年需各種經費為12萬元，從第二年開始每年所需經費均比上一年增加4萬元，該加工廠每年銷售蔬菜總收入為50萬元．
（I）若扣除投資及各種經費，該加工廠從第幾年開始純利潤為正？
（II）若干年后，外商為開發(fā)新項目，對加工廠有兩種處理方案：
（1）若年平均純利潤達到最大值時，便以48萬元的價格出售該廠；
（2）若純利潤總和達到最大值時，便以16萬元的價格出售該廠．
問：哪一種方案比較合算？請說明理由．

Answer 1

分析：（I）贏利總額f（n）元即x年中的收入50n減去n年所需各種經費，f（n）＞0解出結果進行判斷得出何年開始贏利；
（II）利用基本不等式算出第一種方案總盈利，利用二次函數性質算出第二種方案的總盈利，得到每一種方案的總盈利，比較大小選擇方案．

解答：解：由題設知，每年的經費是以12為首項，4為公差的等差數列
設純利潤與年數的關系為f（n），
則f（n）=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-72=-2n²+40n-72
（I）獲純利潤就是要求f（n）＞0，
∴-2n²+40n-72＞0
即n²-20n+36＜0，解得2＜n＜18，
又n∈N，可得n=3，4，5，…17，
∴從第3年開始獲利．              …6/
（II）（1）年平均純利潤=

f(n)

n

=

-2n2+40n-72

n

=40-2（n+

36

n

），
∵n+

36

n

≥2

n• 36 n

=12，當且僅當n=6時，取“=”號，
∴

f(n)

n

≤40-2×12=16，
∴第（1）種方案共獲利16×6+48=144（萬元），此時n=6．…10/
（2）f（n）=-2（n-10）²+128，
當n=10時，f（n）max=128．
故第（2）種方案共獲利128+16=144（萬元）．           …12/
比較兩種方案，獲利都為144萬元，但第（1）種方案需6年，而第（2）種方案需10年，
故選擇第（1）種方案．

點評：本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及基本不等式求最值和應用題中盈利最大化的問題，屬于中檔題．