Question

已知f（x）=axe^kx-1，g（x）=lnx+kx．
（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)k=1時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）求出g′(x)=

1

x

+k，分當(dāng)k≥0時(shí)，和k＜0時(shí)，討論導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間上的符號(hào)，進(jìn)而可得g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，即axe^x-1≥lnx+x，則a≥

lnx+x+1

xex

恒成立，構(gòu)造函數(shù)h(x)=

lnx+x+1

xex

，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可得答案．

解答： 解：（I）∵g（x）=lnx+kx，
∴g′(x)=

1

x

+k…（1分）
當(dāng)k≥0時(shí)，g'（x）＞0在（0，+∞）恒成立，則 （0，+∞）是g（x）的增區(qū)間        …（2分）
當(dāng)k＜0時(shí)，由g′(x)＞0⇒

1

x

＞-k⇒0＜x＜-

1

k

，
則 (0，-

1

k

)是g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
由g′(x)＜0⇒

1

x

＜-k⇒x＞-

1

k

，
則(-

1

k

，+∞)是g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間         …（4分）
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，即axe^x-1≥lnx+x，則a≥

lnx+x+1

xex

恒成立  …（5分）
設(shè)h(x)=

lnx+x+1

xex

，h′(x)=

(1+x)ex-(xex+ex)(lnx+x+1)

(xex)2

=

(1+x)ex(-lnx-x)

(xex)2

…（6分）
令h′（x）＞0，則-lnx-x＞0，
令u（x）=-lnx-x，則u′（x）=-

1

x

-1＜0，
即u（x）=-lnx-x在（0，+∞）為減函數(shù)，且u（1）=-1＜0，u（

1

e

）=1-

1

e

＞0，
故?t∈（0，1）使u（t）=-lnt-t=0，…8分
∴當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，u（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（0，t）上遞增，
當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，u（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（t，+∞）上遞減，
∴當(dāng)x=t時(shí)，h（x）取最大值h（t）=

lnt+t+1

tet

=

1

tet

=

1

t• 1 t

=1，…10分
∴a≥1…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．