Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面；

（2）點(diǎn)在線段上，，試確定的值，使平面；

（3）若平面，平面平面，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）

（3）

【解析】

（1）由線面垂直的判定定理，分別證明，即可；

（2）利用平面，可得,再利用比例關(guān)系即可得解；

（3）先建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，再結(jié)合向量的夾角公式求解即可.

解：（1）由底面為菱形，為的中點(diǎn)，則,

又，則，

又,

由線面垂直的判定定理可得平面；

（2）當(dāng)時(shí)，平面，

證明如下：連接交于,連接，

因?yàn)?/span>,所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

平面平面，

所以,

所以,

所以,

故；

（3）因?yàn)?/span>,平面平面，交線為，則平面，

建立如圖所示的看見(jiàn)直角坐標(biāo)系，

由，則有,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由,且, ,

可得，取，則，

取平面的一個(gè)法向量為，

則，

故二面角的大小為.