Question

已知P（1，1），圓N：（x+1）²+（y+1）²=8，點(diǎn)M是圓N上的動點(diǎn)，若動點(diǎn)C滿足

PM

=2

PC

．
（1）求動點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn)R（-2，1），設(shè)Q為軌跡方程C上一個動點(diǎn)，求

RQ

•

PQ

的最小值；
（3）過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與軌跡方程C相交于A，B，且直線PA和PB直線的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)

PM

=2

PC

，確定M，C坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用代入法，即可求動點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)Q的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示兩個向量的數(shù)量積，化簡后再進(jìn)行三角代換，可得其最小值；
（3）設(shè)出直線PA和直線PB的方程，將它們分別與⊙C的方程聯(lián)立方程組，并化為關(guān)于x的一元二次方程，由x=1一定是該方程的解，可求得A，B的橫坐標(biāo)（用k表示的），化簡直線AB的斜率，將此斜率與直線OP的斜率作對比，得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)M（a，b），C（x，y），則
∵P（1，1），

PM

=2

PC

，
∴（a-1，b-1）=2（x-1，y-1），
∴a=2x-1，b=2y-1，
∵點(diǎn)M是圓N上的動點(diǎn)，
∴（2x）²+（2y）²=8，
∴x²+y²=2；
（2）設(shè)Q（x，y），則
∵R（-2，1），P（1，1），
∴

RQ

•

PQ

=（x+2，y-1）•（x-1，y-1）=x²+y²+x-2y-1=x-2y+1．
令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，則x-2y+1=

10

sin（θ+α）+1，故它的最小值為-

10

+1．
（3）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，
故可設(shè)PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），
由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，求得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，
∴得x_A=

k2-2k-1

1+k2

．
同理，x_B=

k2+2k-1

1+k2

，
∴k_AB=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=1=k_OP ，
∴直線AB和OP一定平行．

點(diǎn)評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用．