Question

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）當(dāng)點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過定點D（m，0）（m＞0）作直線l交軌跡C于A、B兩點，E是D點關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點，試問∠AED=∠BED嗎？若相等，請給出證明，若不相等，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）則可得

HP

=(3，-

y

2

)，

PM

=(x，

3y

2

)，由

HP

•

PM

=0代入整理可求點M的軌跡C；
（2）根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，可證K_AE=-K_BE即可；分兩種情況討論：（1）當(dāng)直線l垂直于x軸時，根據(jù)拋物線的對稱性，有∠AED=∠BED；（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，利用直線的斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)換可得∠AED=∠BED

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）（x'＞0），∵

PM

=-

3

2

MQ

，

HP

•

PM

=0．
∴(x，y-y′)=-

3

2

(x′-x，-y)且（3，y'）•（x，y-y'）=0，-------------------（2分）∴x′=

1

3

x，y′=-

1

2

y，3x+yy′-y′2=0．∴y²=4x（x＞0）．-----------------（4分）
∴動點M的軌跡C是以O(shè)（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線（除去原點）-（5分）
（2）①當(dāng)直線l垂直于x軸時，根據(jù)拋物線的對稱性，有∠AED=∠BED；-（6分）
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時，
依題意，可設(shè)直線l的方程為y=k（x-m）（k≠0，m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x-m) y2=4x(x＞0)

消去x并整理，得ky²-4y-4km=0，
∴y1+y2=

4

k

，y1y2=-4m．-----------（8分）
設(shè)直線AE和BE的斜率分別為k₁、k₂，則：k₁+k₂=

y1

x1+m

+

y2

x2+m

=

y1(x2+m)+y2(x1+m)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1 y 2 2 + 1 4 y2 y 2 1 +m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1y2(y1+y2)+m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 (-4m)( 4 k )+ 4m k

(x1+m)(x2+m)

=0．------（11分）
∴tan∠AED+tan（180°-∠BED）=0，∴tan∠AED=tan∠BED，
∵0＜∠AED＜

π

2

，0＜∠BED＜

π

2

∴∠AED=∠BED．
綜合①、②可知∠AED=∠BED．-------------------------（12分）

點評：本題以向量得數(shù)量積的坐標(biāo)表示為載體，考查了圓錐曲線得求解及直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系得求解．屬于綜合試題．