精英家教網(wǎng)已知以原點O為中心的雙曲線的一條準線方程為x=
5
5
,離心率e=
5

(Ⅰ)求該雙曲線的方程;
(Ⅱ)如圖,點A的坐標為(-
5
,0)
,B是圓x2+(y-
5
)2=1
上的點,點M在雙曲線右支上,|MA|+|MB|的最小值,并求此時M點的坐標.
分析:(Ⅰ)由題意可知雙曲線的焦點在x軸上,雙曲線的方程,根據(jù)準線方程和離心率求得a和c,進而求得b.
(Ⅱ)設(shè)點D的坐標為(
5
,0)
,則點A、D為雙曲線的焦點,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得,|MA|-|MD|=2a,進而可|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|,又由B是圓x2+(y-
5
)2=1
上的點,推斷出|MA|+|MB|≥2+|BD|≥
10
+1
,進而通過直線方程與雙曲線方程聯(lián)立求得M的坐標.
解答:解:(Ⅰ)由題意可知,雙曲線的焦點在x軸上,
故可設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)

設(shè)c=
a2+b2
,
由準線方程為x=
5
5
a2
c
=
5
5
,由e=
5

c
a
=
5
解得a=1,c=
5

從而b=2,∴該雙曲線的方程為x2-
y2
4
=1


(Ⅱ)設(shè)點D的坐標為(
5
,0)
,
則點A、D為雙曲線的焦點,|MA|-|MD|=2a=2
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|,
∵B是圓x2+(y-
5
)2=1
上的點,
其圓心為C(0,
5
)
,半徑為1,
|BD|≥|CD|-1=
10
-1

從而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥
10
+1

當M,B在線段CD上時取等號,
此時|MA|+|MB|的最小值為
10
+1

∵直線CD的方程為y=-x+
5
,
因點M在雙曲線右支上,故x>0
由方程組
4x2-y2=4
y=-x+
5

解得x=
-
5
+4
2
3
,y=
4
5
-4
2
3

所以M點的坐標為(
-
5
+4
2
3
4
5
-4
2
3
)
點評:本題主要考查了雙曲線的標準方程和雙曲線與直線的關(guān)系.圓錐曲線問題是高考中必考的知識點,故應(yīng)加強訓(xùn)練.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知以原點O為中心的橢圓的一條準線方程為y=
4
3
3
,離心率e=
3
2
,M是橢圓上的動點
(Ⅰ)若C,D的坐標分別是(0,-
3
),(0,
3
)
,求|MC|•|MD|的最大值;
(Ⅱ)如題(20)圖,點A的坐標為(1,0),B是圓x2+y2=1上的點,N是點M在x軸上的射影,點Q滿足條件:
OQ
=
OM
+
ON
QA
BA
=0
、求線段QB的中點P的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:重慶市高考真題 題型:解答題

已知以原點O為中心的雙曲線的一條準線方程為,離心率e=,
(Ⅰ)求該雙曲線的方程;
(Ⅱ)如圖,點A的坐標為,B是圓x2+(y-2=1上的點,點M在雙曲線右支上,求|MA|+|MB|的最小值,并求此時M點的坐標。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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(Ⅱ) 若,求直線PQ的方程;

(Ⅲ)設(shè),過點P且平行于直線的直線與橢圓相交于另一點M,證明:

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已知以原點O為中心的橢圓的一條準線方程為,離心率,M是橢圓上的動點
(Ⅰ)若C,D的坐標分別是,求|MC|•|MD|的最大值;
(Ⅱ)如題(20)圖,點A的坐標為(1,0),B是圓x2+y2=1上的點,N是點M在x軸上的射影,點Q滿足條件:、求線段QB的中點P的軌跡方程.

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