精英家教網(wǎng)已知以原點O為中心的雙曲線的一條準線方程為x=
5
5
，離心率e=
5
．
（Ⅰ）求該雙曲線的方程；
（Ⅱ）如圖，點A的坐標為(-
5
，0)，B是圓x2+(y-
5
)2=1上的點，點M在雙曲線右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此時M點的坐標．
分析：（Ⅰ）由題意可知雙曲線的焦點在x軸上，雙曲線的方程，根據(jù)準線方程和離心率求得a和c，進而求得b．
（Ⅱ）設(shè)點D的坐標為(
5
，0)，則點A、D為雙曲線的焦點，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得，|MA|-|MD|=2a，進而可|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，又由B是圓x2+(y-
5
)2=1上的點，推斷出|MA|+|MB|≥2+|BD|≥
10
+1，進而通過直線方程與雙曲線方程聯(lián)立求得M的坐標．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，雙曲線的焦點在x軸上，
故可設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，
設(shè)c=
a2+b2
，
由準線方程為x=
5
5
得
a2
c
=
5
5
，由e=
5

得
c
a
=
5
解得a=1，c=
5

從而b=2，∴該雙曲線的方程為x2-
y2
4
=1；

（Ⅱ）設(shè)點D的坐標為(
5
，0)，
則點A、D為雙曲線的焦點，|MA|-|MD|=2a=2
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，
∵B是圓x2+(y-
5
)2=1上的點，
其圓心為C(0，
5
)，半徑為1，
故|BD|≥|CD|-1=
10
-1
從而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥
10
+1
當M，B在線段CD上時取等號，
此時|MA|+|MB|的最小值為
10
+1
∵直線CD的方程為y=-x+
5
，
因點M在雙曲線右支上，故x＞0
由方程組
4x2-y2=4
y=-x+
5

解得x=
-
5
+4
2
3
，y=
4
5
-4
2
3

所以M點的坐標為(
-
5
+4
2
3
，
4
5
-4
2
3
)
點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程和雙曲線與直線的關(guān)系．圓錐曲線問題是高考中必考的知識點，故應(yīng)加強訓(xùn)練．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知以原點O為中心的橢圓的一條準線方程為y=
4
3
3
，離心率e=
3
2
，M是橢圓上的動點
（Ⅰ）若C，D的坐標分別是(0，-
3
)，(0，
3
)，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如題（20）圖，點A的坐標為（1，0），B是圓x2+y2=1上的點，N是點M在x軸上的射影，點Q滿足條件：
OQ
=
OM
+
ON
，
QA
•
BA
=0、求線段QB的中點P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：重慶市高考真題 題型：解答題

已知以原點O為中心的雙曲線的一條準線方程為，離心率e=，
（Ⅰ）求該雙曲線的方程；
（Ⅱ）如圖，點A的坐標為，B是圓x2+（y-）2=1上的點，點M在雙曲線右支上，求|MA|+|MB|的最小值，并求此時M點的坐標。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知以原點O為中心的橢圓，它的短軸長為，右焦點（c>0），它的長軸長為2a（a>c>0），直線與x軸相交于點A，，過點A的直線與橢圓相交于P．Q兩點．

（Ⅰ） 求橢圓的方程和離心率；

（Ⅱ） 若，求直線PQ的方程；

（Ⅲ）設(shè)，過點P且平行于直線的直線與橢圓相交于另一點M，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南師大附中高三（下）周周練數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知以原點O為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，M是橢圓上的動點
（Ⅰ）若C，D的坐標分別是，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如題（20）圖，點A的坐標為（1，0），B是圓x2+y2=1上的點，N是點M在x軸上的射影，點Q滿足條件：，、求線段QB的中點P的軌跡方程．

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