Question

已知首項(xiàng)不為零的數(shù)列{a_n}中的三項(xiàng)a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列，且點(diǎn)（a_n+1，a_n）在函數(shù)y=

x

1-2x

的圖象上．
（1）證明：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求出a_n；
（2）設(shè)b_n=a_na_n+1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＜

4

17

成立的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a22=a1•a5，an=

an+1

1-2an+1

，從而

1

an

=

1-2an+1

an+1

=

1

an+1

-2，進(jìn)而

1

an

=a₁+（n-1）×2=2n-2+a₁，由此能求出數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，a_n=

1

2n-1

．
（2）由b_n=a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項(xiàng)求和法得到S_n=

n

2n+1

．S_n＜

4

17

得n＜

4

9

．故使S_n＜

4

17

成立的最大正整數(shù)n的值不存在．

解答： （1）證明：∵首項(xiàng)不為零的數(shù)列{a_n}中的三項(xiàng)a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列，
∴a22=a1•a5，
∵點(diǎn)（a_n+1，a_n）在函數(shù)y=

x

1-2x

的圖象上，
∴an=

an+1

1-2an+1

，
∴

1

an

=

1-2an+1

an+1

=

1

an+1

-2，
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為a₁，公差為2的等差數(shù)列，
∴

1

an

=a₁+（n-1）×2=2n-2+a₁，
∴

1

a1

=a₁，解得a₁=1或a₁=-1，
當(dāng)a₁=1時(shí)，

1

an

=2n-1．a(chǎn)_n=

1

2n-1

，
a2=

1

3

，a5=

1

9

，滿足a22=a1•a5，故a₁=1；
當(dāng)a₁=-1時(shí)，

1

an

=2n-3，a_n=

1

2n-3

，
a₂=1，a4=

1

5

，不滿足a22=a1•a5，
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，

1

an

=2n-1．a(chǎn)_n=

1

2n-1

．
（2）解：∵b_n=a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．
∵S_n＜

4

17

，∴

n

2n+1

＜

4

17

．解得n＜

4

9

．
∴使S_n＜

4

17

成立的最大正整數(shù)n的值不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的證明，求使不等式成立的最大項(xiàng)數(shù)n的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．