【題目】如圖為一簡單組合體,其底面ABCD為正方形,棱PD與EC均垂直于底面ABCD,PD=2EC,N為PB的中點,求證:
(1)平面EBC∥平面PDA;
(2)NE⊥平面PDB.
【答案】
(1)證明:∵PD⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD,∴EC∥PD,
又PD平面PDA,EC平面PDA,
∴EC∥平面PDA,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴BC∥AD,又AD平面PDA,BC平面PDA,
∴BC∥平面PDA,
∵EC平面EBC,BC平面EBC,EC∩BC=C,
∴平面EBC∥平面PDA
(2)證明:設(shè)AC與BD相交于點O,連接NO,
∵四邊形ABCD為正方形,∴O為BD的中點,又N為PB的中點,
∴NO∥PD且NO= PD,
又由(1)得EC∥PD,且 ,
∴NO∥EC且NO=EC,∴四邊形NOCE為平行四邊形,
∴NE∥OC,即NE∥A,C
∵PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴AC⊥PD,
又DB⊥AC,PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD,又NE∥AC,
∴NE⊥平面PDB.
【解析】(1)由線面垂直性質(zhì)得EC∥PD,由四邊形ABCD為正方形,得BC∥AD,由此能證明平面EBC∥平面PDA.(2)推導(dǎo)出四邊形NOCE為平行四邊形,從而AC⊥PD,再由DB⊥AC,能證明NE⊥平面PDB.
【考點精析】本題主要考查了平面與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點,需要掌握判斷兩平面平行的方法有三種:用定義;判定定理;垂直于同一條直線的兩個平面平行;一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正三棱錐P﹣ABC的底面邊長為4,側(cè)棱長為8,E,F(xiàn)分別為PB,PC上的動點,求截面△AEF周長的最小值,并求出此時三棱錐P﹣AEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱長都為2,E,F(xiàn),G為 AB,AA1 , A1C1的中點,則B1F 與面GEF成角的正弦值( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D為AC的中點,∠ABC=90°,AA1=AB=2,BC=3.
(1)求證:AB1∥平面BC1D;
(2)求三棱錐D﹣BC1C的體積.
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【題目】已知向量 =( sin ,1), =(cos ,cos2 ).
(Ⅰ)若 =1,求cos( ﹣x)的值;
(Ⅱ)記f(x)= ,在△ABC中,A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.
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【題目】某校為評估新教改對教學(xué)的影響,挑選了水平相當(dāng)?shù)膬蓚平行班進行對比試驗。甲班采用創(chuàng)新教法,乙班仍采用傳統(tǒng)教法,一段時間后進行水平測試,成績結(jié)果全部落在區(qū)間內(nèi)(滿分100分),并繪制頻率分布直方圖如右圖,兩個班人數(shù)均為60人,成績80分及以上為優(yōu)良。
根據(jù)以上信息填好下列聯(lián)表,并判斷出有多大的把握認為學(xué)生成績優(yōu)良與班級有關(guān)?
(2)以班級分層抽樣,抽取成績優(yōu)良的5人參加座談,現(xiàn)從5人中隨機選3人來作書面發(fā)言,求發(fā)言人至少有2人來自甲班的概率。
(以下臨界值及公式僅供參考
, )
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【題目】已知橢圓的左右焦點為,其離心率為,又拋物線在點處的切線恰好過橢圓的一個焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點斜率為的直線交橢圓于兩點,直線的斜率分別為,是否存在常數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)= (x≠0,a>0)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)有最小值2 .
(1)求f(x)的表達式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,2an+1=f(an)﹣an(n∈N*).令bn= ,求證bn+1=bn2;
(3)求數(shù)列{bn}的通項公式.
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