Question

已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+ax₂²+…+a₇x⁷，
（1）求a₀+a₁+…+a₇的值；
（2）求a₀+a₂+a₄+a₆及a₁+a₃+a₅+a₇的值；
（3）求各項二項式系數和；
（4）求二項式系數最大的項．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：（1）在所給的等式中，令x=1，可得a₀+a₁+…+a₇ 的值；
（2）在所給的等式中，令x=-1，則a₀-a₁+a₂-a₃…-a₇ 的值，從而求得a₀+a₂+a₄+a₆和a₁+a₃+a₅+a₇ 的值．
（3）各項二項式系數和為2⁷，計算可得結果．
（4）由于n=7，故當r=3或4時，二項式系數最大，根據通項公式求得二項式系數最大的項．

解答： 解：（1）在（1-2x）⁷=a₀+a₁x+ax₂²+…+a₇x⁷中，令x=1，可得a₀+a₁+…+a₇ =-1 ①．
（2）令x=-1，則a₀-a₁+a₂-a₃…-a₇ =2187 ②，
于是由①②求得a₀+a₂+a₄+a₆=1093，a₁+a₃+a₅+a₇的=-1094．
（3）各項二項式系數和為2⁷=128，
（4）由于n=7，故當r=3或4時，二項式系數最大，故二項式系數最大的項為T₄=-280x³ ；T₅=560x⁴．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，是給變量賦值的問題，關鍵是根據要求的結果，選擇合適的數值代入，屬于基礎題．