Question

已知向量

a

=（sinx，2

3

sinx），

b

=（2cosx，sinx），設(shè)f（x）=

a

•

b

-

3

（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若0＜θ＜

π

2

，且y=f（x+θ）為偶函數(shù)，求θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）f（x）=

a

•

b

-

3

，利用恒等變換化為2sin（2x-

π

3

）+

3

，令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間．
（2）若0＜θ＜

π

2

，且y=f（x+θ）=2sin（2x+2θ-

π

3

）為偶函數(shù)，可得2θ-

π

3

=

π

2

，從而求得θ 的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

-

3

=2sinxcosx+2

3

sin²x=sin2x+2

3

×

1-cos2x

2

 
=sin2x-

3

cos2x+

3

=2sin（2x-

π

3

）+

3

，
令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
可得 kπ+

5π

12

≤2x-

π

3

≤2kπ+

11π

12

，k∈z，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

5π

12

，2kπ+

11π

12

]，k∈z．
（2）若0＜θ＜

π

2

，且y=f（x+θ）=2sin[2（x+θ）-

π

3

]+

3

=2sin（2x+2θ-

π

3

）為偶函數(shù)，
則有 2θ-

π

3

=

π

2

，
θ=

5π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的增區(qū)間，以及誘導(dǎo)公式，屬于中檔題．