Question

判斷下列函數(shù)奇偶性（1）f(x)=(x-1)

1+x 1-x

；（2）f(x)=

lg(1-x2)

|x2-2|-2

；
（3）f(x)=

x2+x  ，(x＜0) -x2+x  ，(x＞0)

；         （4）f(x)=

1-cosx+sinx

1+cosx+sinx

；
（5）f(x)=

x

ax-1

+

1

2

x（a＞0且a≠1）；            （6）f（x）=

x2(x-1)，x≥0 -x2(x+1)，x＜0

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，函數(shù)f(x)=(x-1)

1+x 1-x

的定義域[-1，1），函數(shù)的定義域關(guān)于原點不對稱，（2）由題意可得，函數(shù)的定義域[-1，1]，然后檢驗f（-x）與f（x）的關(guān)系
（3）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，當(dāng)x＞0時，-x＜0，則f（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x=-f（x），當(dāng)x＜0時，-x＞0，則f（-x）=-（-x）²+（-x）=-x²-x=-f（x），從而可判斷
（4）函數(shù)的定義域{x|x≠π+2kπ，且x≠

3π

2

+2kπ，k∈Z}，關(guān)于原點不對稱，則可得
（5）函數(shù)的定義域為R，f(-x)=

-x

a-x-1

-

1

2

x=

xax

ax-1

-

1

2

x≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
（6）函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，當(dāng)x＞0時，-x＜0，f（-x）=--x²（-x+1）=x²（x-1）=f（x）；當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（-x）=x²（-x-1）=-x²（x+1）=f（x）；當(dāng)x=0時，f（0）=0，從而可判斷

解答：解：（1）由題意可得，函數(shù)f(x)=(x-1)

1+x 1-x

的定義域[-1，1），函數(shù)的定義域關(guān)于原點不對稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)
（2）由題意可得，函數(shù)f(x)=

lg(1-x2)

|x2-2|-2

的定義域[-1，1]，
則f(x)=

lg(1-x2)

|x2-2|-2

=

lg(1-x2)

2-x2-2

=

lg(1-x2)

-x2

∴f(-x)=

lg[1-(-x)2]

-(-x)2

=

lg(1-x2)

-x2

=f(x)
∴函數(shù)為偶函數(shù)
（3）∵函數(shù)f(x)=

x2+x，x＜0 -x2+x，x＞0

的定義域關(guān)于原點對稱
當(dāng)x＞0時，-x＜0，則f（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x=-f（x）
當(dāng)x＜0時，-x＞0，則f（-x）=-（-x）²+（-x）=-x²-x=-f（x）
綜上可得，對任意的實數(shù)x，都有f（-x）=-f（x），
所以函數(shù)為奇函數(shù)
 （4）∵函數(shù)f(x)=

1-cosx+sinx

1+cosx+sinx

的定義域{x|x≠π+2kπ，且x≠

3π

2

+2kπ，k∈Z}，關(guān)于原點不對稱
故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)
（5）f(x)=

x

ax-1

+

1

2

x的定義域為R，
但f(-x)=

-x

a-x-1

-

1

2

x=

xax

ax-1

-

1

2

x≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)
（6）∵f（x）=

x2(x-1)x≥0 -x2(x+1)x＜0

的定義域為R，關(guān)于原點對稱
當(dāng)x＞0時，-x＜0，f（-x）=--x²（-x+1）=x²（x-1）=f（x）
當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（-x）=x²（-x-1）=-x²（x+1）=f（x）
當(dāng)x=0時，f（0）=0
綜上可得，f（-x）=f（x）
故函數(shù)為偶函數(shù)

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)奇偶性的定義，先要判斷函數(shù)的定義域，然后檢驗f（-x）與f（x）的關(guān)系