Question

設(shè)函數(shù)g（x）=x²e^x-1，f（x）=g（x）+ax³+bx²，已知x=-2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)，且g′（x）=2xe^x-1+x²e^x-1．
（1）求a和b的值；（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在-2，1處的值為0，列出方程組，求出a，b的值．
（2）由（1）得f′（x）=x（x+2）（e^x-1-1），令f′（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：顯然f （x）的定義域?yàn)镽．
（1）f′（x）=2xe^x-1+x²e^x-1+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），…（2分）
由x=-2和x=1為f （x）的極值點(diǎn)，得

f′(-2)=0  f′(1)=0 .

…（4分）
即

-6a+2b=0  3+3a+2b=0

…（5分）
解得

a=- 1 3   b=-1 .

…（7分）
（2）由（1）得f′（x）=x（x+2）（e^x-1-1）．…（8分）
令f′（x）=0，得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．…（10分）
f′（x）、f （x）隨x的變化情況如下表：…（12分）

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-	0	+
f （x）	↘	極小值	↗	極大值	↘	極小值	↗

從上表可知：函數(shù)f （x）在（-2，0）和（1，+∞）上是單調(diào)遞增的，在（-∞，-2）和（0，1）上是單調(diào)遞減的．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是正確利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．