設函數(shù)g（x）=x2ex-1，f（x）=g（x）+ax3+bx2，已知x=-2和x=1為f（x）的極值點，且g′（x）=2xex-1+x2ex-1．
（1）求a和b的值；（2）討論f（x）的單調性．
分析：（1）根據(jù)題意，求出f（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)在-2，1處的值為0，列出方程組，求出a，b的值．
（2）由（1）得f′（x）=x（x+2）（ex-1-1），令f′（x）=0，可得x1=-2，x2=0，x3=1，根據(jù)導數(shù)的正負可得函數(shù)的單調區(qū)間．
解答：解：顯然f （x）的定義域為R．
（1）f′（x）=2xex-1+x2ex-1+3ax2+2bx=xex-1（x+2）+x（3ax+2b），…（2分）
由x=-2和x=1為f （x）的極值點，得
f′(-2)=0 
f′(1)=0 .
…（4分）
即
-6a+2b=0 
3+3a+2b=0 
…（5分）
解得
a=-
1
3
 
b=-1 .
…（7分）
（2）由（1）得f′（x）=x（x+2）（ex-1-1）．…（8分）
令f′（x）=0，得x1=-2，x2=0，x3=1．…（10分）
f′（x）、f （x）隨x的變化情況如下表：…（12分）
x （-∞，-2） -2 （-2，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） - 0 + 0 - 0 +
f （x） ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
從上表可知：函數(shù)f （x）在（-2，0）和（1，+∞）上是單調遞增的，在（-∞，-2）和（0，1）上是單調遞減的．
點評：本題主要考查函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0，考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，解題的關鍵是正確利用導數(shù)求函數(shù)的極值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x+1-a
a-x
（a∈R且x≠a）．
（Ⅰ）求證：f（x）+f（2a-x）=-2對定義域內的所有x都成立；
（Ⅱ）當f（x）的定義域為[a+
1
2
，a+1]時，求證：f（x）的值域為[-3，-2]；
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）=x2+|（x-a）•f（x）|，當a=-1時，求g（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
mxx2+n
(m，n∈R)在x=1處取得極值2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（t，2t+1）上是單調函數(shù)，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）=x2-2ax+a，若對于任意的x1∈R，總存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1），求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≥0時，f（x）=(
1
2
)x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域A；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=
-x2+(a-1)x+a
的定義域為集合B，若A⊆B，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)一模）我們將具有下列性質的所有函數(shù)組成集合M：函數(shù)y=f（x）（x∈D），對任意x，y，
x+y
2
∈D均滿足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]，當且僅當x=y時等號成立．
（1）若定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）∈M，試比較f（3）+f（5）與2f（4）大小．
（2）設函數(shù)g（x）=-x2，求證：g（x）∈M．
（3）已知函數(shù)f（x）=log2x∈M．試利用此結論解決下列問題：若實數(shù)m、n滿足2m+2n=1，求m+n的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)：f(x)=
x+1-a
a-x
(a∈R且x≠a)．
（1）證明：f（x）+2+f（2a-x）=0對定義域內的所有x都成立；
（2）當f（x）的定義域為[a+
1
2
，a+1]時，求證：f（x）的值域為[-3，-2]；
（3）（理）設函數(shù)g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．
（4）（文）設函數(shù)g（x）=x2+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值．

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