Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點G(

1

8

，0)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1，可得a+c=3，a-c=1，求出a，c，可求b，由此能導出橢圓的方程．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由直線y=kx+m與橢圓有兩個交點，知m²＜4k²+3．又x1+x2=-

8km

3+4k2

，知MN中點P的坐標，由此能求出k的范圍．

解答： 解：（I）由題意設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1，
∴a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0…（6分）
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個交點△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3…（8分）
又x1+x2=-

8km

3+4k2

，
∴MN中點P的坐標為(-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)…（10分）
設MN的垂直平分線l'方程：y=-

1

k

(x-

1

8

)．
∵p在l'上，
∴

3m

3+4k2

=-

1

k

(-

4km

3+4k2

-

1

8

)
即4k²+8km+3=0，
∴m=-

1

8k

(4k2+3)…（12分）
將上式代入得

(4k2+3)2

64k2

＜4k2+3，
∴k2＞

1

20

，即k＞

5

10

或k＜-

5

10

，
∴k的取值范圍為(-∞，-

5

10

)∪(

5

10

，+∞)…（14分）

點評：本題考查橢圓方程和k的取值范圍，考查橢圓的靈活運用，考查韋達定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．