Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，且函數(shù)g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在區(qū)間（1，3）上不單調(diào)，求m的取值范圍；
（Ⅲ）試比較

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

與

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

的大�。╪∈N₊，且n≥2），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），分a＞0，a＜0，a=0三種情況進行討論，解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0可得單調(diào)減、增區(qū)間，注意定義域；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，可得f′（2）=-

a

2

=1，得a，求出f（x），g（x），由g（x）在區(qū)間（1，3）上不單調(diào)，知g′（x）在（1，3）內(nèi)有零點，由二次函數(shù)性質(zhì)可得

g′(1)＜0 g′(3)＞0

，解出即可；
（Ⅲ）令a=-1，有f（x）=-lnx+x-3，由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故x∈（1，∞）時，f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，從而lnx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，則

lnx

x

＜1-

1

x

對一切x∈（1，+∞）也成立，由此可得

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

=n-1-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜n-1-[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

]，整理后可得結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

a

x

-a=

a(1-x)

x

（x＞0），
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＜0得x＞1，由f′（x）＞0，0＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，單調(diào)減區(qū)間為[1，+∞）；
當(dāng)a＜0時，由f′（x）＜0得0＜x＜1，由f′（x）＞0得x＞1，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1]；
當(dāng)a=0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)．                              
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
得f′（2）=-

a

2

=1，解得a=-2，∴f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g（x）在區(qū)間（1，3）上不單調(diào)，且g′（0）=-2，
∴

g′(1)＜0 g′(3)＞0

，解得-

37

3

＜m＜-5；
（Ⅲ）

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

（n∈N₊，且n≥2），
證明如下：令a=-1，此時f（x）=-lnx+x-3，∴f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x∈（1，∞）時，f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，
則

lnx

x

＜1-

1

x

對一切x∈（1，+∞）也成立，
∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

=n-1-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜n-1-[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

]
=n-1-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=n-1-（

1

2

-

1

n+1

）=

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

（n∈N₊，且n≥2）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式等知識，考查學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力，運用函數(shù)的單調(diào)性最值構(gòu)造不等式解決（Ⅲ）問的關(guān)鍵，裂項相消法是常用數(shù)列求和方法，要掌握．