Question

已知a、b、c分別為△ABC內角A、B、C的對邊，ccosA=b
（I）求角C的大小，
（II）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化簡已知的等式，再由三角形的內角和定理及誘導公式得到sinB=sin（A+C），代入化簡后的等式，根據兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后得到sinAcosC=0，由A為三角形的內角，得到sinA不為0，可得cosC為0，進而利用特殊角的三角函數值可得C為直角；
（II）由C為直角，可得A與B互余，可得sinB=cosA，代入所求的式子中，提取

2

，利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據A為銳角，得到這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質可得此時正弦函數的值域，進而確定出所求式子的范圍．

解答：解：（I）由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

=2R得：c=2RsinC，b=2RsinB，
∴ccosA=b變形為：2RsinCcosA=2RsinB，即sinCcosA=sinB，
又sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
∴sinCcosA=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
即sinAcosC=0，
又A和C為三角形的內角，
∴A≠0，即sinA≠0，
∴cosC=0，
則C=

π

2

；
（II）∵C=

π

2

，∴A+B=

π

2

，
∴B=

π

2

-A，
則sinA+sinB
=sinA+sin（

π

2

-A）
=sinA+cosA
=

2

sin（A+

π

4

），
∵A∈（0，

π

2

），∴A+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴sin（A+

π

4

）∈（

2

2

，1]，
則

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]，即sinA+sinB∈（1，

2

]．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，正弦函數的定義域和值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．