Question

已知橢圓的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，其中F₂也是拋物線的焦點，M是C₁與C₂在第一象限的交點，且．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知點A（1，m）（m＞0）是橢圓C₁上一點，E，F(xiàn)是橢圓C₁上的兩個動點，若直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，探求直線EF的斜率是否為定值？如果是，求出定值；反之，請說明理由．

Answer 1

解：（I）設M（x₁，y₁），
由拋物線的方程，得焦點（1，0），
∴F₂（1，0），又．
由拋物線定義，，∴，
∵，∴，∴，
∵M點C₁上，∴，
∴9a²-37a²+4=0，∴a²=4或．
而，應舍去．
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓C₁的方程為．
（II）把A（1，m）（m＞0）代人橢圓的方程得，解得，∴A．
設直線AE的方程為，
代人橢圓方程得，
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則，
可得，
把上面的斜率k換成-k即可得出
，
故為定值．
分析：（I）利用拋物線的定義及其性質可得焦點F₂、交點M的坐標，把點M的坐標代人橢圓的方程及a²=b²+c²即可得出；
（II）把A（1，m）（m＞0）代人橢圓的方程得，解得，得到A．設直線AE的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系即可得到點E的橫坐標，進而得到坐標；把k換成-k即可得到點F的坐標，利用斜率公式求得直線EF的斜率．
點評：本題綜合考查了圓錐曲線的定義、標準方程及其性質，直線與曲線相交問題轉化為方程聯(lián)立得到一元二次方程的根與系數(shù)的關系、直線的斜率計算公式，需要較強的推理能力和計算能力．