Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項的和S_n滿足S_n²=a_n•（S_n-

1

2

）
（Ⅰ）求證{

1

Sn

}為等差數(shù)列，并求出S_n的表達式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

2n

Sn

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2），化簡已知等式得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，從而數(shù)列{

1

Sn

}構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式加以計算，即可得到S_n的表達式；
（2）由（1）的結(jié)論，得到bn=(2n-1)•2n，因此利用錯位相減法并結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理后可得T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

解答： 解�。�1）∵S_n²=a_n•（S_n-

1

2

），a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，
即2S_n-1S_n=S_n-1-S_n，…①
由題意S_n-1•S_n≠0，
將①式兩邊同除以S_n-1•S_n，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴數(shù)列{

1

Sn

}是首項為

1

S1

=

1

a1

=1，公差為2的等差數(shù)列．
可得

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，得S_n=

1

2n-1

．
（2）由（1）得

1

Sn

=2n-1，
∴bn=

2n

Sn

=(2n-1)•2n，
因此，Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，
兩邊都乘以2，得 2Tn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1，
兩式相減，得：
-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+6-2•2ⁿ⁺¹
化簡得T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點評：本題給出數(shù)列的前n項和與第n項之間的關(guān)系式，求數(shù)列的前n項和表達式，并依此求另一個數(shù)列的前n項和．著重考查了等差等比數(shù)列的通項公式、求和公式，考查了利用錯位相減法求等差、等比數(shù)列對應(yīng)項的積構(gòu)成數(shù)列的前n項和的知識，屬于中檔題．