Question

【題目】如圖，已知的邊所在直線的方程為，滿足，點(diǎn)在邊所在直線上且滿足.

（1）求邊所在直線的方程；

（2）求外接圓的方程；

（3）若動(dòng)圓過點(diǎn)，且與的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由已知可得為，由邊所在直線的方程為，可求直線的斜率，點(diǎn)在直線上，利用直線的點(diǎn)斜式可求；（2）與的交點(diǎn)，聯(lián)立方程可求的坐標(biāo)，由結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得的外接圓的圓心，進(jìn)而可求，外接圓的方程可求；（3）由題意可得，即，結(jié)合圓錐曲線的定義可求軌跡方程.

試題解析：（1），又在上，

，為，

又邊所在直線的方程為，所以直線的斜率為，又因?yàn)辄c(diǎn)

在直線上，所以邊所在直線的方程為：，即.

（2）與的交點(diǎn)為，所以由

解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，為斜邊上的中點(diǎn)，即為外接圓的圓心，又，

從而外接圓的方程為:.

（3）因?yàn)閯?dòng)圓過點(diǎn)，所以是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，

所以，即.

故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支.

因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)，半焦距.

所以虛半軸長(zhǎng).

從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.