Question

【題目】若數(shù)列滿足（； ， ），稱數(shù)列為數(shù)列，記為其前項和.

（Ⅰ）寫出一個滿足，且的數(shù)列；

（Ⅱ）若， ，證明：若數(shù)列是遞增數(shù)列，則；反之，若，則數(shù)列是遞增數(shù)列；

（Ⅲ）對任意給定的整數(shù)（），是否存在首項為0的數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個滿足條件的數(shù)列；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題 是一個滿足條件的 數(shù)列{ ．
（Ⅱ）若數(shù)列{是遞增數(shù)列，則 ，推導出{是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，從而得到 ；反之，若 ，由 （當且僅當 時，等號成立），推導出E數(shù)列{是遞增數(shù)列．（Ⅲ） 即 ，知數(shù)列{中相鄰兩項 奇偶性相反，即 為偶數(shù) 為奇數(shù)，由此利用分類討論思想能求出結果．

試題解析：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一個滿足條件的數(shù)列.

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的數(shù)列）

（Ⅱ）若數(shù)列是遞增數(shù)列，則（），

所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列.

故.

反之，若，由于（等號成立當且僅當），

所以

即對，恒有，故數(shù)列是遞增數(shù)列.

（Ⅲ）由即，知數(shù)列中相鄰兩項、奇偶性相反，即， ， ，……為偶數(shù)， ， ， ，……為奇數(shù).

①當（）時，存在首項為0的數(shù)列，使得.

例如，構造： ，…， ，…， ，其中，

， ， （）

②當（）時，也存在首項為0的數(shù)列，使得.

例如，構造： ，…， ，…， ，

其中， ， ， （），.

③當或（）時，數(shù)列中偶數(shù)項， ， ，……共有奇數(shù)項，且， ， ，……均為奇數(shù)，所以和為奇數(shù).

又和為偶數(shù)，因此為奇數(shù)即.

此時，滿足條件的數(shù)列不存在.