Question

已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的不恒為0的函數(shù)，且對(duì)任意的a，b∈R，滿足f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）、f（1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）令a=b=0，得f（0）=0，；再令a=b=1得，f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
（2）f（x）為奇函數(shù)．
證明：∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴令a=b=x，得：f（x²）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），①
再令a=b=-x得：f（x²）=-xf（-x）-xf（-x）=-2xf（-x），②
由①②得；2xf（x）=-2xf（-x），
∴x[f（x）+f（-x）]=0，
∵f（x）是定義域?yàn)镽的不恒為0的函數(shù)，即x不恒為0，
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
分析：（1）令a=b=0，再令a=b=1即可求得f（0）、f（1）的值；
（2）令a=b=x，a=b=-x，代入整理即可判斷并證明f（x）的奇偶性．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，兩次賦值得到2xf（x）=-2xf（-x）是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，考查學(xué)生靈活思維的數(shù)學(xué)品質(zhì)，屬于難題．