Question

若實數(shù)x，y滿足1+cos²πx=

(x+2y)2+1

x+2y

，則x²+（y+1）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題

分析：由1+cos²πx=

(x+2y)2+1

x+2y

判定出x+2y≥0；利用基本不等式得出1+cos²πx≥2，又1≤1+cos²πx≤2，得出x=k（k∈Z）代入利用二次函數(shù)的最值求出x²+（y+1）²的最小值

解答： 解：∵1+cos²πx=

(x+2y)2+1

x+2y

，
∴1+cos²πx=(x+2y)+

1

x+2y

，
∴x+2y≥0；
1+cos²πx=(x+2y)+

1

x+2y

≥2，
∵1≤1+cos²πx≤2，
∴cos²πx=1，此時x+2y=1，πx=kπ，
∴x=k（k∈Z），
∴x²+（y+1）²=

5k2-6k+1

4

+2，
對稱軸k=

3

5

，
∴k=1時有最小值2，
故答案為：2．

點評：本題考查基本不等式的應(yīng)用、三角函數(shù)的有界限、二次函數(shù)最值的求法．屬于一道中檔題．