Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為S_n，且滿足：a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）通過公式構(gòu)造一個新的數(shù)列{b_n}．若{b_n}也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c；
（Ⅲ）求（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為s_n，且滿足a₂a₃=45，a₁+a₄=14，我們構(gòu)造出關(guān)于首項和公差的方程，解方程求出首項和公差，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得到s_n的表達式，再根據(jù) ，可得數(shù)列{b_n}的前3項，根據(jù){b_n}也是等差數(shù)列，構(gòu)造關(guān)于b的方程，即可求出非零常數(shù)c的值．
（Ⅲ）=利用基本不等式求得其最大值即可．
解答：解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a₂+a₃=a₁+a₄=14．又a₂a₃=45，
∴，或．（2分）
∵公差d＞0，∴a₂=5，a₃=9．
∴d=a₃-a₂=4，a₁=a₂-d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=4n-3．（4分）
（Ⅱ）∵，
∴．（6分）
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴2b_n+1=b_n+b_n+2．
∴．
去分母，比較系數(shù)，得．（9分）
∴．（10分）
（Ⅲ）=≤．（12分）
當且僅當，即n=5時，f（n）取得最大值．（14分）
點評：本題考查的知識點是等差數(shù)列的通項公式，其中求等差數(shù)列的通項公式時，根據(jù)已知構(gòu)造出關(guān)于首項和公差的方程，是最常用的辦法．