已知雙曲線C：
x2
3
-y2=1，若直線y=kx+m（k，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且M，N在以點(diǎn)A（0，-1）為圓心的圓上，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
（-
1
4
，0）∪（4，+∞）
（-
1
4
，0）∪（4，+∞）
．
分析：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得（3k2-1）x2+6kmx+3m2+3=0，根據(jù)直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)，可得
3k2-1≠0
△＞0
從而有
k2≠
1
3
m2+1＞3k2
，再利用M、N兩點(diǎn)都在以A（0，-1）為圓心的同一圓上，所以AB⊥MN，建立關(guān)于m的不等關(guān)系，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：如圖所示，由
y=kx+m
x2
3
-y2=1
⇒（3k2-1）x2+6kmx+3m2+3=0
設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)為B（x0，y0），則有
3k2-1≠0
△＞0
⇒
k2≠
1
3
m2+1＞3k2
 ①
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理得x0=-
3km
3k2-1
，y0=kx0+m=-
m
3k2-1

因?yàn)镸、N兩點(diǎn)都在以A（0，-1）為圓心的同一圓上，所以AB⊥MN，
即kAB=
y0+1
x0-0
=
-m+3k2-1
-3km
=-
1
k
，
∴3k2=4m+1    ②
由①②得
4m+1＞0
m2+1＞4m+1
4m+1≠1

∴m＞4或-
1
4
＜m＜0．
故答案為：（-
1
4
，0）∪（4，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線的幾何性質(zhì)為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，有難度．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：y=kx+1與雙曲線C：
x2
3
-y2=1的左支交于點(diǎn)A，右支交于點(diǎn)B、
（Ⅰ）求斜率k的取值范圍；
（Ⅱ）若△AOB的面積為
6
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）以雙曲線
x2
3
-y2=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)．
①求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；
②若直線MA，MB與直線x=4分別交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2007•紅橋區(qū)一模）已知雙曲線C：
x2
3
-y2=1，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，過(guò)F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線，垂足為P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為A．
（Ⅰ）求
PA
•
OP
；
（Ⅱ）若直線y=kx+m（m≠0）與雙曲線C交于 M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)B（0，-1），且|MB|=|NB|，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C與雙曲線
x2
3
-y2=1有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)A（
3
，-3），則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是
 
．

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