Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）用定義域證明f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；
（3）若對于t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：第（1）問，由奇函數(shù)的定義，f（-x）=-f（x）恒成立，構(gòu)造關(guān)于a、b的方程組，解出a、b即可；
第（2）問，按照取值、作差、判斷符號、下結(jié)論三步完成單調(diào)性的證明；
第（3）問，將f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0移項(xiàng)得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），再利用奇偶性變形為f（t²-2t）＜f（-2t²+k），最后利用單調(diào)性、定義域構(gòu)造關(guān)于t的不等式恒成立，然后通過將k分離，最終化為函數(shù)的最值問題．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
即f（-x）=

b-2-x

2-x+a

=

b•2x-1

a•2x+1

=-

b-2x

2x+a

=

2x-b

2x+a

恒成立，
即

b•2x-1

a•2x+1

=

2x-b

2x+a

恒成立，
∴a=b=1．
（2）證明：任取x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

2x1+1

-

1-2x2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

①，
∵函數(shù)y=2^x在R內(nèi)是增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，∴2x2-2x1＞0，
又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴①式＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=

b-2x

2x+a

在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化為
f（t²-2t）＜-f（2t²-k），∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（t²-2t）＜f（-2t²+k），又∵在R上f（x）是減函數(shù)，
∴t²-2t＞-2t²+k恒成立，
即k＜3t²-2t，t∈R恒成立，
只需k＜（3（t-

1

3

） 2-

1

3

）_min=-

1

3

，
∴k的取值范圍是（-∞，-

1

3

）．

點(diǎn)評：研究函數(shù)的性質(zhì)，必須遵循定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)的奇偶性定義式是一個(gè)恒等式，利用這一點(diǎn)，f（-x）化簡后與-f（x）是關(guān)于x的同一個(gè)式子，由此得到關(guān)于系數(shù)的方程；利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是第二步作差，一般是將差變形為能夠直接判斷符號的式子，比如分解因式、化為常數(shù)、完全平方式等等．