Question

設x₁，x₂是函數(shù)f（x）=x³+x²-a²x（a＞0）的兩個極值點，且|x₁|+|x₂|=1．
（1）證明：0＜a≤；
（2）證明：|b|≤；
（3）設g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x₁＜x＜1，x₁＜0，求證：|g（x）|≤a．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x₁，x₂是f（x）=的兩個極值點，知x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²的兩個根，由此入手能夠證明0＜a≤．
（2）由x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=1，知b²=（1-4a）a²，令h（a）=（1-4a）a²=-4a³+a²，得到h′（x）=-2a（6a-1）．由此能夠證明|b|≤．
（3）g（x）=f′（x）-a（x-x₁）（x-x₂）-a（x-x₁）（x-x₂-1），由x-x₁＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，知x₂＞0，x＜1，x-x₂-1＜0，由此能夠證明|g（x）|≤a．
解答：解：（1）證明：∵x₁，x₂是f（x）=的兩個極值點，
∴x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²的兩個根，
∴x₁x₂=-a，…（2分）
∴由條件|x₁|+|x₂|=1及基本不等式可得
2，
∴，
∴．…（5分）
（2）由條件可得x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=1，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=1，
∴，
∴b²=（1-4a）a²，
令h（a）=（1-4a）a²=-4a³+a²，
則h′（x）=-2a（6a-1）．
∵，
∴時，h′（a）＞0；
時，h′（a）＜0．
∴h（a）在a=處取得最大值，
而，
故h（a）在[0，]上的最大值為，
也就是在（0，]上的最大值為，此時a=，
∴，即|b|≤．                           …（10分）
（3）g（x）=f′（x）-a（x-x₁）（x-x₂）-a（x-x₁）（x-x₂-1）（12分）
由條件x-x₁＞0，
∵x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，
∴x₂＞0，x＜1，
∴x-x₂-1＜0，
∴|g（x）|=a（x-x₁）（1+x₂-x）
≤
=，
∵|x₁|+|x₂|=x₂-x₁=1，
∴．
點評：本題考查導數(shù)在最大值、最小值中的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．