Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且f（1）=-

1

2

．
（1）求證：函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）設(shè)x₁、x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，求|x₁-x₂|的取值范圍．
（3）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由條件化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的判別式，由判別式大于0恒成立得到函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根，可求x₁+x₂及x₁•x₂的值，將|x₁-x₂|變形，用x₁+x₂及x₁•x₂的值表示，配方求出最小值，由題意知，式子無最大值．
（3）先求出2個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值f（0）、f（2），當(dāng)c＞0時(shí)，有f（0）＞0，f（1）＜0，在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)c≤0時(shí)，f（1）＜0，f（2）=1-c＞0，得函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有一零點(diǎn)．

解答：解：（1）證明：∵f（1）=1+b+c=-

1

2

，∴b+c=-

3

2

．
∴c=-

3

2

-b．
∴f（x）=x²+bx+c=x²+bx-

3

2

-b，
判別式△=b²-4（-

3

2

-b）=b²+4b+6
=（b+2）²+2＞0恒成立，故函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)
（2）若x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根
∴x₁+x₂=-b，x₁•x₂=-

3

2

-b
∴|x₁-x₂|=

△

|a|

=

(b+2)2+2

≥

2

∴|x₁-x₂|的取值范圍為[

2

，+∞）
（3）f（0）=c，f（2）=4+2b+c，由（I）知b+c=-

3

2

，∴f（2）=1-c．
（i）當(dāng)c＞0時(shí)，有f（0）＞0，而f（1）=-

1

2

＜0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，
故在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
（ii）當(dāng)c≤0時(shí)，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=1-c＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有一零點(diǎn)，
綜合（i）（ii），可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)f（x）=0的根；零點(diǎn)的判定方法是，函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)．