【題目】如圖,多面體中,四邊形為平行四邊形,其中,,,等邊所在平面與平面垂直,平面,且.

(Ⅰ)點(diǎn)在棱上,且,的重心,求證:平面;

(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(Ⅰ)如圖,在棱上取點(diǎn),使得;連并延長(zhǎng),交于點(diǎn).

則在中,又,

所以,

又四邊形為平行四邊形,

所以

所以. -----------------2分

中,為重心,

所以

,

所以.

又因?yàn)?/span>,

所以平面平面.

平面

所以平面. -----------------------------5分

(Ⅱ)在中,,,,

由余弦定理可得

.

所以.

的中點(diǎn),連、.

中,,

所以,且.

又因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面

所以平面. -----------------------------7分

中,,,

所以,且.

如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

,,,,.

,,.

設(shè)平面的法向量為

則由,可得

整理得.

,則,.

所以為平面的一個(gè)法向量. ----------------------------9分

設(shè)平面的法向量為,

則由,可得.

整理得.

,則,.

所以為平面的一個(gè)法向量. -----------------------------10分

所以.

-----------------------------11分

設(shè)平面與平面所成銳二面角為,則. -------12分

【命題意圖】本題考查空間中線面平行的證明、空間二面角的求解以及向量的基本運(yùn)算等,考查基本的空間想象能力和邏輯推理能力、運(yùn)算能力等.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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③函數(shù)f(x)=loga(x﹣3)+1(a>0且a≠1)圖象恒過(guò)定點(diǎn)(4,2);
④已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(3+t)=f(3﹣t),則f(1)>f(4)>f(3).
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(Ⅰ)求橢圓的方程;

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(ⅰ)若,求的面積;

(ⅱ)直線是否恒過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)令,利用給出的參考數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程.(精確到0.1)

參考數(shù)據(jù):,

其中,

(2)對(duì)于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥,當(dāng)它的殘留量不高于20微克時(shí)對(duì)人體無(wú)害,為了放心食用該蔬菜,請(qǐng)估計(jì)至少需用用多少千克的清水清洗1千克蔬菜?(精確到0.1,參考數(shù)據(jù)

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

,.

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分?jǐn)?shù)段

頻數(shù)

選擇題24分

5

2

10

4

15

12

10

6

5

4

5

5

(1)若全區(qū)高一新生有5000人,試估計(jì)成績(jī)不低于60的人數(shù);

(2)根據(jù)表格數(shù)據(jù)試估計(jì)全區(qū)新生數(shù)學(xué)的平均成績(jī)(同一分?jǐn)?shù)段的數(shù)據(jù)取該區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表,如區(qū)間的中點(diǎn)值為75);

(3)從成績(jī)?cè)?/span>中抽取選擇題得分不低于24分的3名學(xué)生進(jìn)行具體分析,求至少有2學(xué)生成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的概率.

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