Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中點．
（I）求異面直線PD、AE所成的角；
（II）在平面PAD內(nèi)求一點F，使得EF⊥平面PBC；
（III）求二面角F-PC-E的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）先建立空間直角坐標系，求出個對應點的坐標，以及，的坐標，最后代入向量的數(shù)量積計算公式即可；
（II）先設(shè)出點F的坐標，進而求出直線EF，BC，PC的方向向量，由向量數(shù)量積為0，求出點F的坐標，判斷出點F的位置，即可得到答案．
（III）先根據(jù)PD⊥平面ABCD，得到CD是PC在平面ABCD上的射影．進而得PC⊥BC；再取PC的中點G，連接EG，則EG∥BC，進而得EG⊥PC，通過分析得∠FGE為二面角F-PC-E的平面角，最后在三角形FGE中求出∠FGE；即可得到平面PCF與平面PCE的夾角的余弦值，進而求出結(jié)論．
解答：解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A （a，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），P（0，0，a）．
∴，．
∴．
又∵，
∴．
故異面直線AE、DP所成角為．                    （5分）
（II）∵F∈平面PAD，故設(shè)F（x，0，z），則有．
∵EF⊥平面PBC，∴且．
∴
又∵，
∴
從而
∴，取AD的中點即為F點．                （4分）
（III）∵PD⊥平面ABCD，
∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
又∵CD⊥BC，由三垂線定理，有PC⊥BC．
取PC的中點G，連接EG，則EG∥BC．
∴EG⊥PC．
連接FG．
∵EF⊥平面PBC，EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，
∴FG⊥PC．
∴∠FGE為二面角F-PC-E的平面角．∵，
∴．
∴．
∴二面角F-PC-E的大小為．                         （5分）
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，以及異面直線所成的角，其中建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，將線線垂直問題，轉(zhuǎn)化為向量垂直問題是解答本題第二問的關(guān)鍵．