Question

若函數(shù)f（x）滿足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三個不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)f（x）是等比源函數(shù)．
（1）判斷下列函數(shù)：①y=log₂x；②y=sin

π

2

x中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）
（2）證明：對任意的正奇數(shù)b，函數(shù)f（x）=2^x+b不是等比源函數(shù)；
（3）證明：任意的d，b∈N^*，函數(shù)g（x）=dx+b都是等比源函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)和等比源函數(shù)的概念能推導(dǎo)出①②都是等比源函數(shù)．
（2）利用反證法能證明任意的正奇數(shù)b，函數(shù)f（x）=2^x+b不是等比源函數(shù)．
（3）任意的d，b∈N^*，數(shù)列{g（n）}都是以g（1）為首項(xiàng)，公差為d的等差數(shù)列，由此推導(dǎo)出任意的d，b∈N^*，數(shù)列{g（n）}中總存在三項(xiàng)g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]成等比數(shù)列．由此能夠證明任意的d，b∈N^*，函數(shù)g（x）=dx+b都是等比源函數(shù)．

解答： （1）解：①∵log₂2，log₂4，log₂16成等比數(shù)列，
∴y=log₂x是等比源函數(shù)．
②∵sin

π

2

，sin（3•

π

2

），sin（5•

π

2

）成等比數(shù)列，
∴y=sin

π

2

x是等比源函數(shù)．（4分）
（2）證明：假設(shè)存在正整數(shù)m，n，k，且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比數(shù)列，
（2ⁿ+b）²=（2^m+b）（2^k+b），
整理得2²ⁿ+2b•2ⁿ=2^m+k+b（2^m+2^k），
等式兩邊同除以2^m，得2^2n-m+2b•2^n-m=2^k+b•2^k-m+b．
∵n-m≥1，k-m≥2，∴等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，
∴等式2^2n-m+2b•2^n-m=2^k+b•2^k-m+b不可能成立，
∴假設(shè)不成立，說明對任意的正奇數(shù)b，函數(shù)f（x）=2^x+b不是等比源函數(shù)．（10分）
（3）∵任意的d，b∈N^*，都有g(shù)（n+1）-g（n）=d，
∴任意的d，b∈N^*，數(shù)列{g（n）}都是以g（1）為首項(xiàng)，公差為d的等差數(shù)列．
由g²（m）=g（1）•g（k），（其中1＜m＜k），
得[g（1）+（m-1）d]²=g（1）[g（1）+（k-1）d]，
整理得（m-1）[2g（1）+（m-1）d]=g（1）（k-1），
令m=g（1）+1，則g（1）[2g（1）+g（1）d]=g（1）（k-1），
∴k=2g（1）+g（1）d+1，
∴任意的d，b∈N^*，數(shù)列{g（n）}中總存在三項(xiàng)g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]成等比數(shù)列．
∴任意的d，b∈N^*，函數(shù)g（x）=dx+b都是等比源函數(shù)．（18分）

點(diǎn)評：本題考查等比源函數(shù)的判斷與證明，解題時要熟練掌握等比數(shù)列的基本性質(zhì)的靈活運(yùn)用．