Question

（本小題滿分12分）

已知數(shù)列{a}的前n項和Sn= —a—()+2   (n為正整數(shù)).

（1）證明：a=a+ ().,并求數(shù)列{a}的通項

（2）若=，T= c+c+···+c，求T.

 

Answer 1

【答案】

⑴a=. ⑵T=3—.

 

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列通項公式的求解以及數(shù)列的求和的綜合運用。

（1）因為數(shù)列{a}的前n項和Sn= —a—()+2   (n為正整數(shù)).

利用前n項和與通項公式的 關系得到a=a+ ().,并求數(shù)列{a}的通項

（2）根據(jù)第一問得到=，然后運用錯位相減法得到數(shù)列的和式。

解：⑴由S= —a_n—（）+2，得S= —a—()+2，兩式相減，得a=

—a+ a+()，即a=a+().---------------------------------------2分

因為S= —a—（）+2，令n=1，得a=.對于a=a+()，兩端同時除以()，得2a=2a+1，即數(shù)列{2a}是首項為2·a=1，公差為1的等差數(shù)列，故2a=n，所以a=.------------------------------------6分

⑵由⑴及=，得c= (n+1)()，

  所以T=2×+3×（）+4×（）+···+(n+1) ()，①

  T=2×（）+3×（）+4×（）+···+(n+1) ()，②

  由①—②，得

  T=1+（）+（）+···+()－(n+1) ()=1+—

  (n+1) ()=—.   所以T=3—.------------------------------------12分