Question

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=x²-xlnx圖象上的點(diǎn)P（1，1）處的切線方程；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=ax²-1nx，x∈（0，e]，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R對于任意的x∈（0，e]，f（x）≥3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)f（x）=x²-xlnx圖象上的點(diǎn)P（1，1）處的切線方程．
（II）問題即f（x）_min≥3，由此利用分類討論思想結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=(x2)′-(xlnx)′=2x-1×lnx-x•

1

x

=2x-lnx-1，…（2分）
由題意可知切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
所以切線的斜率是k=f'（1）=2×1-ln1-1=1，…（1分）
切點(diǎn)縱坐標(biāo)為f（1）=1-1×ln1=1，
故切點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，1），
所以切線方程為y-1=（x-1），即y=x．（2分）
（II）問題即f（x）_min≥3，
f′(x)=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，x∈(0，e]，（1分）
1）當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]遞減，
f_min（x）=f（e）f(e)=ae2-1≥3⇒a≥

4

e2

，所以a無解．（2分）
2）當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=

2ax2-1

x

=0，得x=

1 2a

    (x＞0)
若

1 2a

≥e，即a≤

1

2e2

，
則f'（x）≤0，f（x）在（0，e]遞減，
f_min（x）=f（e）f(e)=ae2-1≥3⇒a≥

4

e2

，所以a無解．（2分）
若

1 2a

＜e，即a＞

1

2e2

時(shí)，當(dāng)x∈(0，

1 2a

)時(shí)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(

1 2a

，e)時(shí)f（x）單調(diào)遞增．
fmin(x)=f(

1 2a

)=

1

2

+

1

2

ln2a，

1

2

+

1

2

ln2a≥3，解得a≥

e5

2

，
綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a≥

e5

2

．

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，函數(shù)恒成立時(shí)條件的應(yīng)用能力．解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運(yùn)用．