Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-9ax²+12a²x，（a＞0）．
（1）若a=1，問函數(shù)f（x）圖象過原點的切線有幾條？求出切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=6x²-18x+12，由此能求出切線方程為y=12x或y=

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8

x．即共有兩條切線過原點．
（2）f′（x）=6x²-18ax+12a²=6（x-a）（x-2a），由此根據(jù)a的取值范圍利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)的最大值．

解答： 解：（1）a=1，f′（x）=6x²-18x+12，
設(shè)切點為（x0，2x03-9x02+12x0），
則切線方程為y-(2x03-9x02+12x0)=(6x02-18x0+12)（x-x₀），
∵切線過原點：即2x03-9x02+12x0=(6x02-18x0+12)x0，
∴x₀=0或x0=

9

4

，
∴切線方程為y=12x或y=

15

8

x．
即共有兩條切線過原點．
（2）f′（x）=6x²-18ax+12a²=6（x-a）（x-2a），
且f（x）在[0，a]是遞增，在[a，2a]上遞減，在[2a，+∞）上遞增，
f（x）在x=a時有極大值f（a）．
①當(dāng)a＞2時，f（x）_max=f（2）=24a²-36a+16，
②當(dāng)1≤a≤2時，f(x)max=f(a)=5a2，
③當(dāng)0＜a＜1時，f（a）-f（2）=5a³-24a²+36a-16
=（5a-4）（a-2）²，
f（x）_max=

5a3， 4 5 ≤a＜1 24a2-36a+16，0＜a＜ 4 5

．
綜上所述，f（x）_max=

24a2-36a+16，a＞2 5a3， 4 5 ≤a≤2 24a2-36a+16，0＜a＜ 4 5

．

點評：本題考查切線方程的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．