【題目】幾千年的滄桑沉淀,凝練了西樵山的美,清幽秀麗的自然風光,文化底蘊厚重的旅游,古樸自然的民俗風情.自明清以來,文人雅士,群賢畢至,旅人游子,紛至沓來,使秀美的西樵山成為名嗓南粵的旅游熱點.如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點處下山至處有兩種路徑,一種是從沿直線步行到,另一種是先從乘景區(qū)觀光車到,然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山,甲沿勻速步行,速度為50米/分鐘,在甲出發(fā)2分鐘后,乙從乘觀光車到,在處停留20分鐘后,再從勻速步行到.假設觀光車勻速直線運行的速度為250米/分鐘,山路長為2340米,經(jīng)測量,,.
(1)求觀光車路線的長;
(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在觀光車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)?
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)根據(jù)正弦定理即可確定的長;
(2)假設乙出發(fā)分鐘后,甲,乙兩游客距離為,此時,甲行走了,乙距離處,利用余弦定理求出乙在觀光車上與甲的距離最短時的時間;
(3)設乙步行的速度為,利用正弦定理求的長,進而求出的取值范圍.
(1)在中,因為,
所以,
從而=
,
由正弦定理,
得,
所以觀光車路線的長為
(2)假設乙出發(fā)分鐘后,甲,乙兩游客距離為,此時,甲行走了,乙距離處,由余弦定理得
因,即,故當時,甲,乙兩游客的距離最短;
(3)由正弦定理,
得,
乙從出發(fā)時,甲已經(jīng)走了,
甲還需走才能到達,
設乙步行的速度為,由題意得
解得,
所以為使兩位游客在處相互等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應控制在范圍內(nèi).
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【題目】如圖(1),在等腰梯形中, , 是梯形的高, , ,現(xiàn)將梯形沿, 折起,使且,得一簡單組合體如 圖(2)示,已知, 分別為, 的中點.
(1)求證: 平面;
(2)若直線與平面所成角的正切值為,求平面與平面所成的銳二面角大小.
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【題目】給出下列說法:
①函數(shù)y=2x與函數(shù)y=log2x互為反函數(shù);
②若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一個元素,則k=1;
③若,則f(x)=x2-2;
④函數(shù)y=log2(1-x)的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,1);
其中所有正確的序號是______.
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【題目】已知中心在原點的橢圓C的一個頂點為,焦點在x軸上,右焦點到直線的距離為.
求橢圓的標準方程;
若直線l:交橢圓C于M,N兩點,設點N關于x軸的對稱點為點與點M不重合,且直線與x軸的交于點P,求的面積的最大值.
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【題目】已知f(x)=x2+(a+1)x+a2(a∈R),若f(x)能表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x)的和.
(1)求g(x)和h(x)的解析式;
(2)若f(x)和g(x)在區(qū)間(-∞,(a+1)2]上都是減函數(shù),求f(1)的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:.
若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等,且截距不為零,求切線l的方程;
已知點為直線上一點,由點P向圓C引一條切線,切點為M,若,求點P的坐標.
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【題目】公交車的數(shù)量太多容易造成資源浪費,太少又難以滿足乘客的需求,為了合理布置車輛,公交公司在2路車的乘客中隨機調(diào)查了50名乘客,經(jīng)整理,他們候車時間(單位:)的莖葉圖如下:
(Ⅰ)將候車時間分為八組,作出相應的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)若公交公司將2路車發(fā)車時間調(diào)整為每隔15發(fā)一趟車,那么上述樣本點將發(fā)生變化(例如候車時間為9的不變,候車時間為17的變?yōu)?/span>2),現(xiàn)從2路車的乘客中任取5人,設其中候車時間不超過10的乘客人數(shù)為,求的數(shù)學期望.
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