Question

已知：y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x+1）圖象關(guān)于點（-1，0）對稱，則當(dāng)x＞3且f（x²-6x+16）+f（y²-8y）＜0時，的取值范圍為：    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知中函數(shù)的單調(diào)性及對稱性，可將不等式x＞3且f（x²-6x+16）+f（y²-8y）＜0化為（x-3）²+（y-4）²-9＜0，x＞3，畫出滿足條件的可行域，結(jié)合的幾何意義，可分析出的取值范圍．
解答：解：∵y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
且函數(shù)y=f（x+1）圖象關(guān)于點（-1，0）對稱，
故函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于點（0，0）對稱，
即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)
故f（x²-6x+16）+f（y²-8y）＜0可化為
f（x²-6x+16）＜-f（y²-8y）=f（-y²+8y）
即x²-6x+16＜-y²+8y
即x²-6x+16+y²-8y=（x-3）²+（y-4）²-9＜0
即（x-3）²+（y-4）²-9＜0，x＞3
其表示的平面區(qū)域如下圖所示：
當(dāng)直線與半圓相切時，將y=kx代入（x-3）²+（y-4）²-9=0，x＞3得
（x-3）²+（kx-4）²-9=0只有一解
解得k=，即的最小值為
當(dāng)x=3，y=7時，的最大值為
故的取值范圍是
故答案為：
點評：本題以函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)為載體考查了線性規(guī)劃問題，其中根據(jù)已知中函數(shù)的性質(zhì)分析出滿足條件的約束條件是解答的關(guān)鍵．