Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足下列條件：
①當(dāng)x∈R時，函數(shù)的最小值為0，且f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）成立；
②當(dāng)x∈（0，5）時，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．求：
（1）f（1）的值；
（2）函數(shù)f（x）的解析式；
（3）求最大的實數(shù)m（m＞1），使得存在t∈R，只要當(dāng)x∈[1，m]時，就有f（x+t）≤x成立．

Answer 1

解：（1）∵x∈（0，5）時，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，
∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，
∴f（1）=1；
（2）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），
∴f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的對稱軸為x=﹣1，
∴﹣ =﹣1，b=2a．
∵當(dāng)x∈R時，函數(shù)的最小值為0，
∴a＞0，f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的對稱軸為x=﹣1，
∴f（x）_min=f（﹣1）=0，
∴a=c． ∴f（x）=ax²+2ax+a．
又f（1）=1，
∴a=c= ，b= ．
∴f（x）= x²+ x+ = （x+1）²．
（3）∵當(dāng)x∈[1，m]時，就有f（x+t）≤x成立，
∴f（1+t）≤1，即 （1+t+1）²≤1，解得：﹣4≤t≤0．
而y=f（x+t）=f[x﹣（﹣t）]是函數(shù)y=f（x）向右平移（﹣t）個單位得到的，
顯然，f（x）向右平移的越多，直線y=x與二次曲線y=f（x+t）的右交點的橫坐標(biāo)越大，
∴當(dāng)t=﹣4，﹣t=4時直線y=x與二次曲線y=f（x+t）的右交點的橫坐標(biāo)最大．
∴ （m+1﹣4）²≤m，
∴1≤m≤9，
∴m_max=9．