Question

設(shè)平面內(nèi)兩定點(diǎn)F₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），直線PF₁和PF₂相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為定值-．
（Ⅰ）求動點(diǎn)P的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（0，），N為拋物線C₂：y=x²上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C₂的切線交曲線C₁于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），依題意則有，由此能求出動點(diǎn)P的軌跡C₁的方程．
（2）設(shè)N（t，t²），則PQ的方程為：y-t²=2t（x-t），聯(lián)立方程組，利用根的判別式和韋達(dá)定理，結(jié)合題設(shè)條件能求出△MPQ面積的最大值．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），
依題意則有，
整理得動點(diǎn)P的軌跡C₁的方程：，（x）．…（4分）
（2）設(shè)N（t，t²），則PQ的方程為：y-t²=2t（x-t），
∴y=2tx-t²，聯(lián)立方程組，
消去y整理得：，有，…（8分）
而|PQ|=
=，
，…（11分）
由代入化簡得：
即=，
當(dāng)且僅當(dāng)t²=10時，取到最大值．…（13分）
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意根的判別式、韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式的靈活運(yùn)用．