已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，且圓C：x2+y2+
3
x-3y-6=0過A，F(xiàn)2兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線PF2的傾斜角為α，直線PF1的傾斜角為β，當(dāng)β-α=
2π
3
時，證明：點P在一定圓上．
分析：（1）求出圓C與x軸交點坐標(biāo)，即可確定橢圓E的方程；
（2）求出直線PF2、PF1的斜率，利用β-α=
2π
3
，結(jié)合兩角差的正切公式，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：圓x2+y2+
3
x-3y-6=0與x軸交點坐標(biāo)為A(-2
3
，0)，F2(
3
，0)，
故a=2
3
，c=
3
，所以b=3，∴橢圓方程是：
x2
12
+
y2
9
=1．
（2）證明：設(shè)點P（x，y），因為F1（-
3
，0），F(xiàn)2（
3
，0），
設(shè)點P（x，y），則kPF1=tanβ=
y
x+
3
，kPF2=tanα=
y
x-
3
，
因為β-α=
2π
3
，所以tan（β-α）=-
3
．
因為tan（β-α）=
tanβ-tanα
1+tanαtanβ
=
-2
3
y
x2+y2-3
，
所以
-2
3
y
x2+y2-3
=-
3
，化簡得x2+y2-2y=3．
所以點P在定圓x2+y2-2y=3上．
點評：本題考查橢圓的方程，考查兩角差的正切公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點，求△OMN面積的最大值．

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