已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,且經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1).
(I)求橢圓的方程;
(II)若過點(diǎn)(0,
3
5
)的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn)(M,N點(diǎn)與A點(diǎn)不重合).
(i)求證:以MN為直徑的圓恒過A點(diǎn);
(ii)當(dāng)△AMN為等腰直角三角形時(shí),求直線MN的方程.
分析:(I)由于橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,且經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1),可得
c
a
=
3
2
0+
1
b2
=1
a2=b2+c2
解得即可.
(II)(i)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由題意可設(shè)過點(diǎn)(0,
3
5
)的直線的方程為y=kx+
3
5
,與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,又A(0,-1),只要證明
AM
AN
=0即可.
(ii)由(i)可知:△AMN是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形.設(shè)斜邊MN的中點(diǎn)為P,當(dāng)△AMN為等腰直角三角形時(shí),則AP⊥MN.且P(
-12k
5(1+4k2)
3
5(1+4k2)
)
.分類討論:若k=0,則滿足AP⊥MN,即可得出直線MN的方程為y=
3
5
.若k≠0,由kAP=-
20k2+8
12k
=-
1
k
,解得k=±
5
5
.即可得出.
解答:解:(I)∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,且經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1),
c
a
=
3
2
0+
1
b2
=1
a2=b2+c2
解得b2=1,a=2,c=
3

∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1

(II)(i)由題意可設(shè)過點(diǎn)(0,
3
5
)的直線的方程為y=kx+
3
5
,
聯(lián)立
y=kx+
3
5
x2
4
+y2=1
,化為(1+4k2)x2+
24k
5
x-
64
25
=0
,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-
24k
5(1+4k2)
x1x2=-
64
25(1+4k2)

又A(0,-1),∴
AM
AN
=(x1,y1+1)•(x2,y2+1)=x1x2+(y1+1)(y2+1)=x1x2+(kx1+
8
5
)(kx2+
8
5
)

=(1+k2)x1x2+
8k
5
(x1+x2)+
64
25

=
-64(1+k2)
25(1+4k2)
-
192k2
25(1+4k2)
+
64
25
=
-64-256k2+64+256k2
25(1+4k2)
=0.
∴點(diǎn)A在以線段MN為直徑的圓上,即以MN為直徑的圓恒過A點(diǎn).
(ii)由(i)可知:△AMN是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形.設(shè)斜邊MN的中點(diǎn)為P,當(dāng)△AMN為等腰直角三角形時(shí),則AP⊥MN.
且P(
-12k
5(1+4k2)
3
5(1+4k2)
)

若k=0,則滿足AP⊥MN,此時(shí)直線MN的方程為y=
3
5
,滿足題意.
若k≠0,由kAP=-
20k2+8
12k
=-
1
k
,解得k=±
5
5
.此時(shí)直線MN的方程為y=±
5
5
x+
3
5

綜上可知:當(dāng)△AMN為等腰直角三角形時(shí),直線MN的方程為:y=
3
5
,或y=±
5
5
x+
3
5
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)在圓上的證明方法、等腰直角三角形的性質(zhì)、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長軸長是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長為2,離心率為
2
2
,設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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