Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M：x²+y²-8x+6=0，過點(diǎn)P（0，2）且斜率為k的直線與圓M相交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為N．
（1）求k的取值范圍；
（2）若ON∥MP，求k的值．

Answer 1

分析：（1）求出已知圓的圓心與半徑，設(shè)直線方程為y=kx+2．根據(jù)直線與圓M相交，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于k的不等式，解之可得實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）由平行直線的斜率相等，得到直線ON的方程為y=-

1

2

x，與y=kx+2聯(lián)解得到交點(diǎn)N(-

4

2k+1

，

2

2k+1

)，由圓的性質(zhì)得MN⊥AB，建立關(guān)于k的方程，解之即可得到實(shí)數(shù)k的值．

解答：解：（1）設(shè)已知直線方程為y=kx+2，即kx-y+2=0，
將圓的方程化為（x-4）²+y²=10，可得圓心為M（4，0）、半徑r=

10

∵直線與圓M相交于不同的兩點(diǎn)A、B，
∴圓心M到直線的距離小于半徑，即d=

|4k+2|

k2+1

＜

10

，
化簡得（4k+2）²＜10（k²+1），解得-3＜k＜

1

3

．
（2）∵ON∥MP，且MP斜率為-

1

2

，
∴直線ON的斜率也等于-

1

2

，可得ON的方程為y=-

1

2

x，
由

y=- 1 2 x y=kx+2

，解得

x=- 4 2k+1 y= 2 2k+1

，可得N(-

4

2k+1

，

2

2k+1

)，
又∵N是AB中點(diǎn)，∴由圓的性質(zhì)，得MN⊥AB，
由此可得

2 2k+1

- 4 2k+1 -4

=-

1

k

，解之得k=-

4

3

，
即當(dāng)ON∥MP時，實(shí)數(shù)k的值等于-

4

3

．

點(diǎn)評：本題給出經(jīng)過定點(diǎn)的直線與圓相交，求參數(shù)k的取值范圍，并在滿足兩直線平行的情況下求k值．著重考查了直線的基本量與基本形式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式等知識，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與計算能力，考查了函數(shù)方程與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．