Question

（2013•普陀區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A_n滿足

OA1

=(0，1)，且

AnAn+1

=(1，1)；點B_n滿足

OB1

=(3，0)，且

BnBn+1

=(3•(

2

3

)n，0)，其中n∈N^*．
（1）求

OA2

的坐標(biāo)，并證明點A_n在直線y=x+1上；
（2）記四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為a_n，求a_n的表達(dá)式；
（3）對于（2）中的a_n，是否存在最小的正整數(shù)P，使得對任意n∈N^*都有a_n＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量的運算法則、等差數(shù)列的定義及通項公式即可證明；
（2）利用向量的運算法則和逐差累和即可求得點B_n的坐標(biāo)，及an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn即可求出．
（3）利用（2）的結(jié)論及作差法，求出a_n+1-a_n，進(jìn)而即可判斷出答案．

解答：解：（1）由已知條件得，

A1A2

=(1，1)，

A1A2

=

OA2

-

OA1

，∴

OA2

=(1，2)，
∵

AnAn+1

=(1，1)，∴

OAn+1

-

OAn

=(1， 1)
設(shè)

OAn

=(xn，yn)，則x_n+1-x_n=1，y_n+1-y_n=1
∴x_n=0+（n-1）•1=n-1；y_n=1+（n-1）•1=n．
即A_n=（n-1，n）滿足方程y=x+1，∴點A_n在直線y=x+1上．
（2）由（1）得A_n（n-1，n），

BnBn+1

=

OBn+1

-

OBn

=(3•(

2

3

) n，0)，
設(shè)B_n（u_n，v_n），則u₁=3，v₁=0，v_n+1-v_n=0，∴v_n=0，
un+1-un=3•(

2

3

)n，逐差累和得，un=9(1-(

2

3

)n)，
∴Bn(9(1-(

2

3

)n)，0)．
設(shè)直線y=x+1與x軸的交點P（-1，0），則an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=

1

2

[10-9(

2

3

)n+1](n+1)-

1

2

[10-9(

2

3

)n]na_n=5+(n-2)(

2

3

)n-1，n∈N^*．
（3）由（2）a_n=5+(n-2)(

2

3

)n-1，n∈N^*
an+1-an=[5+(n-1)(

2

3

)n]-[5+(n-2)(

2

3

)n-1]=

4-n

3

(

2

3

)n-1，
于是，a₁＜a₂＜a₃＜a₄=a₅，a₅＞a₆＞a₇＞…
數(shù)列{a_n}中項的最大值為a4=a5=5+

16

27

，則P＞5

16

27

，即最小的正整數(shù)p的值為6，
所以，存在最小的自然數(shù)p=6，對一切n∈N^*都有a_n＜p成立．

點評：熟練掌握向量的運算法則、等差數(shù)列的定義及通項公式、逐差累和、及利用an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn求面積和作差法比較數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．