Question

已知函數(shù)f（x）=ln

ex

e-x

，若f（

e

2016

）+f（

2e

2016

）+…+f（

2015e

2016

）=403（a+b），a＞0，b＞0，則

4

a

+

1

b

的最小值為（　　）

• A、5
• B、9
• C、2
• D、

  9

  5

Answer 1

考點：函數(shù)的值,基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知得f（x）+f（e-x）=2，從而f（

e

2016

）+f（

2e

2016

）+…+f（

2015e

2016

）=1007×2+f（

e

2

）=2015，進而a+b=5，由此得到

4

a

+

1

b

=

1

5

(a+b)（

4

a

+

1

b

）=1+

1

5

（

4b

a

+

a

b

）≥1+

2

5

4b a × a b

=1+

4

5

=

9

5

．從而能求出

4

a

+

1

b

的最小值．

解答： 解：∵f（x）=ln

ex

e-x

，
∴f（x）+f（e-x）=ln

ex

e-x

+ln

e(e-x)

e-(e-x)

=ln(

ex

e-x

×

e(e-x)

x

)=lne²=2，
∴f（

e

2016

）+f（

2e

2016

）+…+f（

2015e

2016

）=1007×2+f（

e

2

）=2014+ln

e2 2

e- e 2

=2015，
∵f（

e

2016

）+f（

2e

2016

）+…+f（

2015e

2016

）=403（a+b），
∴403（a+b）=2015，解得a+b=5，
∵a＞0，b＞0，
∴

4

a

+

1

b

=

1

5

(a+b)（

4

a

+

1

b

）=1+

1

5

（

4b

a

+

a

b

）≥1+

2

5

4b a × a b

=1+

4

5

=

9

5

．
當(dāng)且僅當(dāng)

4b

a

=

a

b

時取等號，
∴

4

a

+

1

b

的最小值為

9

5

．
故選：D．

點評：本題考查代數(shù)和的最小值的求法，是中檔題，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出f（x）+f（e-x）=2，解題時要注意基本不等式的合理運用．