Question

【題目】設(shè)函數(shù)（其中）.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是， 當(dāng)時， 在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

（2）1個.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，先求導(dǎo)，對k分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)第（2）問，對k分類討論，討論每一種情況下函數(shù)的零點個數(shù)，最后綜合得到函數(shù)的零點個數(shù)情況.

試題解析：

(I)函數(shù)的定義域為，，

時，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，

單調(diào)遞增區(qū)間是，

②當(dāng)時，令，解得或，

所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

（II），①當(dāng)時，，又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上只有一個零點，在區(qū)間中，因為，取，于是，又在上單調(diào)遞減，故在上也只有一個零點，

所以，函數(shù)在定義域上有兩個零點；

②當(dāng)時，在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，只有．

而在區(qū)間內(nèi)，即在此區(qū)間內(nèi)無零點．

所以，函數(shù)在定義域上只有唯一的零點.