Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a＜$\frac{2}{3}$b），在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則$\frac{3a+2b+c}{2b-3a}$的最小值是（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到c≥$\frac{^{2}}{3a}$，a＞0，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出代數(shù)式的最小值即可．

解答 解：f′（x）=3ax²+2bx+c，
若函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={4b}^{2}-12ac≤0}\end{array}\right.$，
解得：c≥$\frac{^{2}}{3a}$，a＞0，
故$\frac{3a+2b+c}{2b-3a}$≥$\frac{3a+2b+\frac{^{2}}{3a}}{2b-3a}$=$\frac{{（3a+b）}^{2}}{3a（2b-3a）}$≥$\frac{{（3a+b）}^{2}}{{（\frac{3a+2b-3a}{2}）}^{2}}$=$\frac{{（3a+b）}^{2}}{^{2}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b-3a即b=3a時“=”成立，
此時$\frac{3a+2b+c}{2b-3a}$的最小值是$\frac{{（3a+b）}^{2}}{^{2}}$=$\frac{{（3a+3a）}^{2}}{{（3a）}^{2}}$=4，
故選：B．

點評 本題考查了求函數(shù)的單調(diào)性問題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．