Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極小值為，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由．令．再利用導(dǎo)數(shù)工具可得：極小值和單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)并令，再將命題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上的最小值小于．當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，再利用導(dǎo)數(shù)工具對(duì) 的取值進(jìn)行分類討論.

試題解析：（1）當(dāng)，．

令得，．

又的定義域?yàn)?/span>，由得，由得，．

所以時(shí)，有極小值為 ．

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2），且，令，得到，若在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得成立，即在區(qū)間上的最小值小于 ．

當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，

故在區(qū)間上的最小值為，

由，得，即．

當(dāng)即時(shí)，

①若，則對(duì)成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則在區(qū)間上的最小值為，

顯然，在區(qū)間的最小值小于0不成立．

②若，即時(shí)，則有

	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以在區(qū)間上的最小值為，

由，得，解得，即，

綜上，由①②可知，符合題意