【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的值,并判斷f(x)的單調(diào)性(不用證明);
(2)已知不等式f(logm )+f(﹣1)>0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù),
∴f(0)=0,
∴ =0,
解得a=1,
∴f(x)= =﹣1+ ,
∵y=2x是R上的增函數(shù),
∴f(x)在R上為減函數(shù),
(2)解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),
∴f(logm )+f(﹣1)>0
等價(jià)于f(logm )>﹣f(﹣1)=f(1),
又∵f(x)是R上的減函數(shù),
∴l(xiāng)ogm =logmm,
∴當(dāng)0<m<1時(shí), >m,即0<m< ;
當(dāng)m>1時(shí), <m,即m>1;
綜上,m的取值范圍是m∈(0, )∪(1,+∞).
【解析】(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)得f(0)=0恒成立,求出a的值,再判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為:f(logm )>﹣f(﹣1)=f(1),再由函數(shù)的單調(diào)性得logm <1,利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論,再求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合M是由滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體所組成的集合:在定義域內(nèi)存在x0 , 使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.
(1)指出函數(shù)f(x)= 是否屬于M,并說(shuō)明理由;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=lg 屬于M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系x0y中,已知點(diǎn)A(﹣ ,0),B( ),E為動(dòng)點(diǎn),且直線EA與直線EB的斜率之積為﹣ . (Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M,N.若點(diǎn)P在y軸上,且|PM|=|PN|,求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠BAD=60°,PD⊥底面ABCD,點(diǎn)M、N分別是棱AB、CD的中點(diǎn).
(1)證明:BN⊥平面PCD;
(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)H,使得MH與平面PCD所成最大角的正切值為 ,若存在,請(qǐng)求出H點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 =(﹣2,4), =(﹣1,﹣2).
(1)求 , 的夾角的余弦值;
(2)若向量 ﹣λ 與2 + 垂直,求λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)y=sin(x﹣ )的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得的圖象向左平移 個(gè)單位,得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),求的極小值;
(Ⅱ)若函數(shù)存在唯一零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=ax , y=xb , y=logcx的圖象如圖所示,則a,b,c的大小關(guān)系為 . (用“<”號(hào)連接)
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