Question

（本題滿分12分）

如圖，是圓的直徑，點在圓上，，交于點，平面，，．

（1）證明：；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】第一問證明幾何中線線垂直，利用線面垂直的性質定理得到。由于平面平面， 平面在底面圓中利用圓的性質得到，從而得到平面．

第二問中，通過作輔助線得到二面角的平面角的大小為為平面與平面所成的二面角的平面角．然后借助于直角三角形求解得到結論。

解：（法一）（1）平面平面， ．……………1分

    又，

平面

而平面

．  ………………………………………3分

是圓的直徑，．

又，

．

平面，，

平面．

與都是等腰直角三角形．

．

，即（也可由勾股定理證得）．………………5分

，     平面．

而平面，

．  ………………………………………………………………6分

（2）延長交于，連，過作，連結．

由（1）知平面，平面，

．

而，平面．

平面，

，

為平面與平面所成的

二面角的平面角．     ……………………8分

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，則．    …………………11分

是等腰直角三角形，．

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．　 …………………12分

（法二）（1）同法一，得．          ……………………3分

如圖，以為坐標原點，垂直于．．所在的直線為軸建立空間直角坐標系．

由已知條件得，

． ………4分

由，

得， ．   ……………6分

（2）由（1）知．

設平面的法向量為，

由 得，

令得，，             ………………9分

由已知平面，所以取面的法向量為，

設平面與平面所成的銳二面角為，

則， …………………………11分

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．  ……………………12分