Question

在數(shù)學(xué)中“所有”一詞，叫做全稱量詞，用符號(hào)“?”表示；“存在”一詞，叫做存在量詞，用符號(hào)“?”表示．設(shè)，g（x）=a^x（a＞1，x＞2）．
①若?x∈（2，+∞），使f（x）=m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為    ；
②若?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：①利用條件求出函數(shù)f（x）的值域即可．
②要使對(duì)?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），等價(jià)于x∈（2，+∞）時(shí)f（x）的值域?yàn)間（x）值域的子集，
解答：解：①由，
因?yàn)閤＞2，所以由基本不等式得，
所以函數(shù)f（x）的值域是[3，+∞），所以要使?x∈（2，+∞），使f（x）=m成立，則m≥3，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3，+∞）．
②因?yàn)閍＞1，x＞2，所以g（x）≥a²，由①知f（x）的值域是[3，+∞），
所以要使?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
則有a²≤3，解得1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，]．
故答案為：①[3，+∞），②（1，]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用基本不等式求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查恒成立問(wèn)題，本題中對(duì)恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．